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By Hugo Alberto Rincón Mejía

Introducci ́on
Este texto contiene el fabric de los cursos A ́lgebra Lineal I y A ́lgebra Lineal II como los he impartido a lo largo de varios an ̃os. Tiene algunas caracter ́ısticas especiales:
Comienza con operaciones asociativas, monoides, tablas de multiplicar. Esto es porque pienso que los angeles definicio ́n de Espacio vectorial puede resultar muy com- plicada para un alumno, y hago esto para que no se pierdan las consecuencias de cada axioma.
En el cap ́ıtulo de Espacios vectoriales, no so ́lo se demuestra l. a. existencia de bases, sino que se da una demostraci ́on de que las bases para un espacio vec- torial tienen el mismo cardinal.
La demostracio ́n es una aplicaci ́on del Lema de Zorn, en donde se puso mucho cuidado en presentar el argumento de manera clara en todos sus detalles.
Se presentan dos cap ́ıtulos acerca de espacios con producto inside. El primer cap ́ıtulo incluye l. a. teor ́ıa que los estudiantes de F ́ısica necesitan con urgencia, mientras que el u ́ltimo cap ́ıtulo united states l. a. teor ́ıa de espacios invariantes. En este cap ́ıtulo se estudian los operadores normales, autoadjuntos, unitarios que son tan importantes para los estudiantes de F ́ısica cu ́antica.
Se hacen ejemplos detallados de c ́alculos de formas cano ́nicas y se hace ́enfasis en l. a. teor ́ıa de diagonalizacio ́n simulta ́nea. Como aplicacio ́n, se presentan las cadenas de Markov, y se caracteriza los angeles situacio ́n en que las potencias de una matriz cuadrada convergen.

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DIMENSION 53 Vale la pena hacer ´enfasis en todo lo que se est´a pidiendo de T : Para cada pareja (L{ > I{ ) se est´a pidiendo que (E\ [I{ (L{ )]) sea ajeno con L{ > y que su uni´on sea linealmente independiente en Y . N´otese que a E se le quita la imagen de L{ bajo I{ y se reemplaza con L{ . 1. Veamos primero que (T> 6) es un COPO. a. (L{ > I{ ) 6 (L{ > I{ ) ya que L{  L{ a I{|L{ = I{ = b. [(L{ > I{ ) 6 (L| > I| )] a [(L| > I| ) 6 (L{ > I{ )] , L{  L| , L|  L{ = Por lo que L{ = L| = Adem´as I{|L| = I| = Pero tambi´en I{|L| = I{|L{ = I{ = c.

J (I Y ) = {[  Y | [ es o= l=} 2. G (I Y ) = {[  Y | [ genera I Y } = Teorema 15 Son equivalentes para  I Y : 1.  es base de Y= 2.  es un elemento m´aximo en J (Y ) = 3.  es un elemento m´ınimo en G (Y ) = CAP´ITULO 2. ESPACIOS VECTORIALES 36 Demostraci´ on. 1) , 2) Es claro que  5 J (I Y ) > basta demostrar que es m´aximo. Sup´ongase que  $  0 entonces <{ 5  0 \= Dado que L () =I Y> entonces  ^ {{} es o= g= ({ 5I Y =L() =L([ ^ {{}] \ {{}) = Pero  ^ {{}   0 , por lo que  0 5 @ J (I Y ) = 2) , 3) Dado que  5 J (I Y ), basta demostrar que L () =I Y= Sea { 5 Y es claro que si 1.

E ´o d ¡ e> para indicar que d 6 e a d 6= e= Observaci´ on 22 Sea D  V> (V> 6) un COPO. Son equivalentes para x 5 V : x no es el supremo de D= x no es cota superior de D b (x es cota superior de D, pero no es la menor). ( tal que y ? x)Las definiciones anteriores nos servir´an para demostrar resultados para espacios vectoriales no necesariamente finitamente generados. Por ejemplo necesitaremos demostrar que todo espacio vectorial tiene base. En la secci´on siguiente introduciremos (como axioma) el Lema de Zorn.

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Álgebra Lineal by Hugo Alberto Rincón Mejía


by Kenneth
4.4

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